拉格朗日力学的案例合成
在以前的课程中 ，张背阴已经介绍了拉格朗日力学 ，到双的物的优搜罗变分道理等 。摆张背阴可是理课拉格朗日力学咱们碰着的良多力学下场运用牛顿力学都可能很好的处置 ，那末甚么情景下运用拉格朗日力学会愈加利便呢 ？《张背阴的揭示物理课》第一百八十期开播 ，搜狐独创人、从弹处董事局主席兼首席实施官 、簧摆物理学博士张背阴坐镇搜狐视频直播间 ，到双的物的优对于这一下场妨碍了钻研以及教学 。摆张背阴经由弹簧摆与双摆两个案例来剖析拉格朗日力学在实际运用中的理课拉格朗日力学优异之处 。
拉格朗日力学
张背阴首先回顾了以前课程教学的揭示拉格朗日力学的内容 。
首先 ，从弹处任给一个想要钻研的簧摆物体 ，要形貌它需要光阴t ，到双的物的优狭义坐标q以及狭义坐标对于光阴的导数（狭义速率） 。在个别的机械行动情景下 ，思考不含时的零星 ，它的拉氏量就有如下方式 ：
拉氏量是狭义坐标与它们对于光阴的导数的函数 。着假相形下物体总是沿着某一条道路行动，当在地球上低速情景下，抉择粒子道路的纪律正是牛顿力学 。无妨假如物体行动在一维空间中 ，在t1光阴的狭义坐标为q1 ，t2光阴为q2 ，而且对于这两个道路的端点 ，狭义速率也是判断的 。这里 ，张背阴愿望揭示一种更直不雅的妄想来清晰变分道理 。以粒子的狭义坐标与狭义速率为坐标轴 ，物体道路上每一点都有一个响应的拉氏量的取值 。如今 ，先假如狭义坐标与狭义速率间是自力的 ，对于物体行动的道路来做一些重大的变更， 愿望可能经由这样的变更来找到真正的道路（被牛顿力学抉择的）有甚么特殊之处 ，也即 ，所有可能的道路中着实道路理当知足甚么样的条件能耐回到牛顿力学的要求 。首先 ，所有应承的道路都理当知足狭义速率是狭义坐标对于光阴的导数 ，不光如斯 ，还要知足下式的积分约束条件 ：
多少多上 ，所有知足上边两个条件的道路是狭义坐标 、狭义速率以及拉氏量三者张成的空间中某个超曲面的子集。如今牢靠道路的尽头与尽头 ，让道路在这一会集合变更 ，这一步骤被称作变分 。论断便是 ，熏染量（即拉氏量沿道路的积分）在变分的操作下取极值 ，如下式所示 ：
响应的拉氏量知足的微分方程（Euler-Lagrange方程）为：
张背阴教学变分道理
弹簧摆
以前张背阴已经举过一些例子来教学拉格朗日力学 ，搜罗逍遥落体 、中间力场等 。明天不断钻研更多的案例 ，首先是弹簧摆（spring pendulum） ，即一个弹簧下悬挂一个小球 ，小球会沿着弹簧倾向振动的同时随弹簧一起摆动 。弹簧的劲度系数为k ，小球的品质为m，重力减速率为g ，弹簧摆动的角度为theta ，弹簧做作长度为r0 ，小球距离弹簧顶端悬挂点的距离为r（即弹簧实际长度） 。首先运用牛顿力学来对于这一零星妨碍受力合成 。对于径向（沿着弹簧的倾向） ，小球受到弹簧的弹力 、重力的分力以及在弹簧系下的惯性力（离心力），写出牛顿第二定律为 ：
对于角向 ，小球只受到重力的分力，由角动量定理可能患上到 ：
回到拉格朗日力学再来钻研弹簧摆 ，就要分说写出零星的动能以及势能 。动能为 ：
势能为：
拉氏量为 ：
因此 ，由Euler-Lagrange方程就能直接写出径向的行动方程 ：
以及角向的行动方程 ：
可能看到以及用牛顿力学合成患上到的方程残缺不同 。对于弹簧摆 ，由于径向的行动以及角向的行动是耦合的 ，方程无奈剖析求解 ，张背阴课上揭示了数值合计患上到的图像化服从，可能看到泛起了混沌天气 ，这一零星是对于初值敏感的 。
张背阴合成弹簧摆的行动方程
双摆
双摆（double pendulum）是一个典型的运用牛顿力学合成比力难题的零星 ，可是运用拉格朗日力学会相对于简略良多。双摆由两个小球 ，m1由轻杆l1悬挂在牢靠点 ，m2由轻杆l2悬挂在小球m1上 ，两球摆动的角度分说为theta1以及theta2 。零星的动能项由两个小球的动能相加患上到 ：
零星势能同理 ：
则拉氏量为 ：
同样运用Euler-Lagrange方程 ，就能患上到双摆的行动方程 。
张背阴合成双摆的拉氏量
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